常见问题

01背包的01背包问题
更新时间:2018-07-22 15:08 浏览:95 关闭窗口 打印此页

  因为本题中的所有物品的体积均为整数,颠末几回的选择后背包的残剩空间可能会相等,在搜刮中会反复计较这些结点,所以,若是我们把搜刮过程入彀算过的结点的值记实下来,以包管不反复计较的话,速度就会提高良多。这是简单的“以空间换时间”。

  我们发觉,因为这些计较过程中会呈现堆叠的结点,合适动态规划中子问题堆叠的性质。

  同时,能够看出若是通过第N次选择获得的是一个最优解的线次选择的成果必然也是一个最优解。这合适动态规划中最优子问题的性质。 考虑用动态规划的方式来处理,这里的:

  形态是:在前N件物品中,拔取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值;

  我们用f[i,j]暗示在前 i 件物品当选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值

  这个方程很是主要,根基上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有需要将它细致注释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就能够转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。若是不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[v];若是放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。

  如许,我们能够自底向上地得出在前M件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值,也就是f[m,w]

  因为是用了一个二重轮回,这个算法的时间复杂度是O(n*w)。而用搜刮的时候,当呈现最坏的环境,也就是所有的结点都没有堆叠,那么它的时间复杂度是O(2^n)。看上去前者要快良多。可是,能够发此刻搜刮入彀算过的结点在动态规划中也全都要计较,并且这里算得更多(有一些在最初没有派上用场的结点我们也必需计较),在这一点上仿佛是矛盾的。01背包问题动态规划

  现实上,重庆时时彩彩票计划因为我们定下的前提是:所有的结点都没有堆叠。也就是说,肆意N件物品的分量相加都不克不及相等,而所有物品的分量又都是整数,那末这个时候W的最小值是:1+2+2^2+2^3+……+2^n-1=2^n -1

  此时n*w2^n,动态规划比搜刮还要慢~~所以,其实背包的总容量W和堆叠的结点的个数是相关的。

  考虑能不克不及不计较那些多余的结点…… 以上方式的时间和空间复杂度均为O(N*V),此中时间复杂度根基曾经不克不及再优化了,但空间复杂度却能够优化到O(V)。

  先考虑上面讲的根基思绪若何实现,必定是有一个主轮回i=1..N,每次算出来二维数组f[0..V]的所有值。那么,若是只用一个数组f[0..V],能不克不及包管第i次轮回竣事后f[v]中暗示的就是我们定义的形态f[v]呢?f[v]是由f[v]和f[v-c]两个子问题递推而来,可否包管在推f[v]时(也即在第i次主轮回中推f[v]时)可以或许获得f[v]和f[v-c]的值呢?现实上,这要求在每次主轮回中我们以v=V..0的挨次推f[v],如许才能包管推f[v]时f[v-c]保留的是形态f[v-c]的值。伪代码如下:

  此中的f[v]=max{f[v],f[v-c]}一句恰就相当于我们的转移方程f[v]=max{f[v],f[v-c]},由于此刻的f[v-c]就相当于本来的f[v-c]。若是将v的轮回挨次从上面的逆序改成挨次的话,那么则成了f[v]由f[v-c]推知,与本题意不符,但它倒是另一个主要的背包问题P02最简捷的处理方案,故进修只用一维数组解01背包问题是十分需要的。

  现实上,利用一维数组解01背包的法式在后面会被多次用到,所以这里笼统出一个处置一件01背包中的物品过程,当前的代码中间接挪用不加申明。

  过程ZeroOnePack,暗示处置一件01背包中的物品,两个参数cost、weight别离表白这件物品的费用和价值。

  留意这个过程里的处置与前面给出的伪代码有所分歧。前面的示例法式写成v=V..0是为了在法式中表现每个形态都按照方程求解了,避免不需要的思维复杂度。而这里既然曾经笼统成看作黑箱的过程了,就能够插手优化。费用为cost的物品不会影响形态f[0..cost-1],这是明显的。

  ZeroOnePack(c,w); 我们看到的求最优解的背包问题标题问题中,现实上有两种不太不异的问法。有的标题问题要求“刚好装满背包”时的最优解,有的标题问题则并没有要求必需把背包装满。一种区别这两种问法的实现方式是在初始化的时候有所分歧。

  若是是第一种问法,要求刚好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,如许就能够包管最终获得的f[N]是一种刚好装满背包的最优解。

  若是并没有要求必需把背包装满,而是只但愿价钱尽量大,初始化时该当将f[0..V]全数设为0。

  为什么呢?能够如许理解:初始化的f数组现实上就是在没有任何物品能够放入背包时的合法形态。若是要求背包刚好装满,那么此时只要容量为0的背包可能被价值为0的nothing“刚好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于不决义的形态,它们的值就都该当是-∞了。若是背包并非必需被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时形态的值也就全数为0了。

  这个小技巧完全能够推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行形态转移之前的初始化进行讲解。 有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),重庆时时彩计划同时有n个物品(0小于n≤30),每个物品有一个别积(正整数)。要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的残剩空间为最小。



相关推荐:



友情链接:秒速赛车彩票网

公司地址:江苏省南京市玄武区玄武湖

监督热线:4008-888-888

返回首页 苏ICP12345678网站地图

分享到: